A matemática poderia explicar o significado da vida, do universo e de todo o resto?
Vai saber. Mas sempre vale tentar.
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Uma das tentativas de demonstrar a probabilidade de algo tão desconcertante como o início de tudo foi com algo que está representado como você vê na imagem acima.
Com ∑, ∞ e vários n pode parecer um pouco intimidador.
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Mas tudo isso pode ser representado de outra forma: 1 − 1 + 1 − 1 +…
São operações simples, mas se as repetirmos ao infinito, tornam-se uma soma que ocupou os maiores matemáticos desde o século 18.
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A grande questão era: qual é o resultado dessa soma infinita?
Uma resposta intuitivamente óbvia é que não há resposta: se continuar infinitamente, se alterará entre 0 e 1 sem nunca chegar a valor único.
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No entanto, essa é apenas uma das 4 opções consideradas ao longo do tempo.
E talvez a mais surpreendente seja que a que mais convenceu o primeiro matemático a chamar a atenção para este quebra-cabeça conhecido como série Grandi.
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O instigador
Luigi Guido Grandi (1671 - 1742) foi um padre, filósofo, matemático e engenheiro nascido em Cremona, hoje na Itália.
Seu interesse pela matemática demorou a surgir, mas com seu primeiro livro, Geometrica divinatio Vivianeorum problematum, publicado em 1699, ele ganhou reconhecimento no seu e em outros países.
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Sua reputação o levaria a virar, em 1707, o matemático da corte do Grão-Duque da Toscana, Cosme 3º de Medici, e no cargo foi responsável por importantes projetos de engenharia, incluindo a drenagem do Vale de Chianna.
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Também colaborou na publicação da primeira edição das obras de Galileu Galilei (1718), publicou uma versão italiana dos Elementos de Euclides (1731), aconselhou o Papa Clemente sobre a reforma do calendário e introduziu na Itália as ideias de Gottfried Leibniz sobre cálculo.
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Admirado também no exterior, tornou-se membro da prestigiada Royal Society of London em 1709, depois de Isaac Newton publicar seu trabalho sobre teoria musical.
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Uma de suas obras mais admiradas foi o estudo da rosa polar, uma família de curvas que lembram flores, que chamou de rhodoneas (do grego rhodon, rosa), em seu livro Flores Geometrici (1725).
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Mas foi uma outra obra sua que despertou não só o interesse de seus pares, mas também uma acalorada polêmica em torno da série que leva seu nome.
0, 1, 1/2
O livro, publicado em 1703 e com o título de Quadratura do Círculo e da Hipérbole, continha um resultado que chamou bastante atenção.
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Grandi estudou aquela soma infinita de 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·
E observou que adicionando parênteses, chegava-se a resultados diferentes.
(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1)... resultava em 0 + 0 + 0..., que é igual a 0.
Mas se fosse escrito assim: 1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1)... então a soma seria 1 + 0 + 0 + 0..., o que daria 1.
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Isso por si só já era surpreendente.
Mais surpreendente ainda foi ele afirmar que a soma de infinitos 0s é igual a 1/2.
Grandi preferiu explicar esse resultado com uma parábola em que imaginava dois irmãos que herdaram dos pais uma joia valiosa.
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Eles foram proibidos de vendê-la e dividi-la à metade destruiria seu valor.
Os irmãos concordaram que alternariam a propriedade da joia, trocando todo dia de Ano Novo.
Supondo que o acordo continuasse indefinidamente, então, do ponto de vista de cada irmão, a propriedade da joia pode ser representada pela série
1 − 1 + 1 − 1 + · · ·
Assim, cada irmão possui a joia pela metade do tempo, então o valor desta série seria 1/2.
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Você pode ficar surpreso, mas vários matemáticos relevantes da época concordaram que essa era a resposta.
O renomado Leibniz chegou à mesma conclusão por outros métodos e declarou que 1/2 era a resposta que lhe parecia correta, embora reconhecesse que o argumento era mais "metafísico do que matemático".
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O suíço Leonhard Euler, um dos maiores e mais prolíficos matemáticos de todos os tempos, fez seus próprios cálculos e escreveu em 1760:
“Não pode restar dúvida de que, de fato, a série 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + etc. e a fração 1/2 são quantidades equivalentes e que é sempre permitido substituir uma pela outra sem erro."
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Tal como eles, outros matemáticos em toda a Europa discutiram a série infinita, chegando a suas próprias conclusões.
Mas um deles, em particular, não gostou muito das ideias de Grandi.
Do nada a tudo
Alessandro Marchetti (1633 - 1714) era o professor de matemática na Universidade de Pisa e ressentiu-se da fama internacional de Grandi.
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Tentando desacreditá-lo, criticou duramente seu livro.
Em resposta, Grandi publicou uma segunda edição de Quadratura... em 1710.
Mas desta vez ele foi autorizado a incluir um comentário que os censores haviam exigido que fosse removido da versão anterior, condição com a qual ele concordou, não sem relutância.
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Era uma afirmação ainda mais surpreendente do que os resultados que ele tinha obtido.
Sua reflexão foi de que ao se adicionar parênteses à expressão 1 − 1 + 1 − 1 + · · · era possível obter, de maneiras diferentes, 1 ou 0, “então a ideia de criação ex nihilo era perfeitamente plausível”.
A criação ex nihilo é a criação a partir do nada.
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Além disso, se uma quantidade finita podia ser obtida a partir de uma soma infinitamente prolongada de zeros, era necessário “reconhecer aquele poder infinito”, uma força que mesmo “multiplicando o que em si não é nada, transforma-o em algo, da mesma forma que, dividindo uma magnitude finita, força-a a degenerar em nada."
E tinha sido “pelo poder infinito do Deus Criador que todas as coisas foram feitas do nada, e todas as coisas podem ser reduzidas ao nada”.
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Assim, Grandi parecia ter chegado a uma prova matemática de que Deus havia criado tudo do nada.
É claro que isso serviu para jogar lenha na fogueira: Marchetti publicou então um ataque a essa segunda edição em 1711, ao qual Grandi respondeu com outro artigo em 1712.
A polêmica continuou até a morte de Marchetti, em 1714.
O interesse pela série de Grandi, no entanto, persistiu.
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Embora seus argumentos não resistam ao escrutínio matemático moderno, existe um marco para somas infinitas em que a série de Grandi é igual a 1/2.
É conhecida como soma de Cesàro, em homenagem ao matemático italiano Ernesto Cesàro, do final do século 19.
No entanto,segundo diversas fontes, a opinião geral dos matemáticos hoje é que o valor da série de Grandi não é 1, nem 0, nem 1/2: o resultado dessa soma infinita é nenhum.
Mas, se fosse algum, seria 1/2.
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Algumas Informações: Portal BBC News
Direitos Autorais Imagem de Capa: Caroline Souza/BBC/ Divulgação
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